昔々、ある国にA,B,Cという3人の囚人がいて、それぞれ別の牢に入れられています。
明日、3人全員が処刑される予定なのですが、国王の恩赦により、3人のうち1人は助かることになりました。
しかし誰が助かるかは明かされていません。
それを知りたい囚人たちは看守に「助かるのは誰だ」と質問しますが、誰も答えてはくれません。
そこで囚人Aは質問の仕方を変え、こう問いました。
「私以外の2名のうち少なくともどちらか1名は処刑されるはずだが、その者が誰かを教えてほしい。私のことではないのだから教えてくれてもいいだろう？どうせ私は彼らと接触することはないのだから。」
すると看守は
「Bは処刑されるよ」
と教えました。
するとそれを聞いたAは
「ありがとう。これで私が助かる確率は上がったよ」
と喜びました。
さてここで問題です。
本当にAが言うように、この一連の会話のやりとりでAの助かる確率は上がったのでしょうか。
この問題は1990年、ギネスブックにも載っている「世界一IQが高い人」マリリン・ボス・サバント氏がある雑誌でこの問題の答えを示し、アメリカで大議論を呼んだ問題です(ただし問題をわかりやすくするために内容を少し変更しています)。
数学者の間でも答えに関して意見が分かれましたが、最終的にはマリリン・ボス・サバント氏の回答が正しいことがわかっています。
ではマリリン・ボス・サバント氏が出した回答は
Aの主張が正しい
としたのか
Aの主張は間違い
としたのか
どちらでしょうか。
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聞かなければ33%で生き残れたのに、
聞くことで生きる確率が半分になり16%になるのでAの主張は間違っていると思います。
それは違うと思います。
私もそう思います。
変わらなくね by文系 ※これはあくまで個人の意見です
>>なしほ
Aの主張は当たってるよ。
３人の内２人死ぬんだからAが生き残る確率は１/3でしょ。
でも、看守がBは死ぬと教えてくれたことによって、その時点でAは
生き残る確率が1/2に上がったんだよ。
君の言っていることのおかしいところは２つ合って、１つ目は、”生きる確率が半分になり１６％になる”のところだけど、君はただ３３％を半分の１６％にしてるだけ。
Bが死ぬんだから残りはAとCで１だけ死ぬから1/2の確率でしょ。
２つ目は、”３３％で生き残れたのに、聞くことで生きる確率が半分になり16%になるので”
という君の主張が正しいのなら、Aの主張は間違っているんだから”思います”は付けてはいけないよ。算数、数学に”思います”なんて言葉はないから。
Aの主張は間違ってる
助かる確率が上がってはいない
Cの助かる確率が上がった
100人の囚人として考えると
100人のうち99人が処刑されるとする
生きる確率は１％
ところがほかの99人の98人が処刑されると考えると
ほかの囚人の99人の一人の処刑されない確率は1/100だったが98/100にあがった
3人に置き換えると
最初はA=1/3 B=1/3 C=1/3
でも答えを聞いたことによって
A=1/3 B=2/3 C＝NG
ということである
僕もそう思いました、
A＝1/２ B＝０ C＝1/2 だと思います
Bの生きる確率は0で、Cが死なない確率は0ではないですよ
>>ある
３人の内の２人が処刑されるんだから３人とも３３％の確率で助かるよね。
で、その内の１人であるBが処刑されることが決まったんだから
残りのAとC両方とも生き残る確率は変わるはずでしょ。
君の主張では、Aは最初の３３％から助かる確率が変わってないがCは変わってるよね。
なんでCの確率は変わるのに、Aの確率は変わらないの？
AもCも条件は一緒だよ？Cだけ確率が変わるのが絶対にありえない。
>>ある
１００人中２人生き残ってそのうちの１人の生存確率1/100が98/100に上がったらさ、
もう一人も生存確率1/100が98/100に上がるわけじゃん。
２人合わせて生存確率１９６/１００だよ？
君の間違いは、１００人の内の１人をAと置いて、その他９９人の生き残った１人をBと置いて固定しちゃってる所ね。AもBも同じで、AでもありBでもあるんだから。
AでもありBでもあるってことはAとAの２人、BとBの２りでもあるってことだから、AとBで確率が変わったら２人の生存確率の合計が101/100にも99/100にもなっちゃうでしょ。
でもそれじゃダメなんだよね、きっちり合計が100/100じゃないと。最初にそう決めたでしょ？３人の内２人を処刑するって。２人の内１人が処刑されるって。
「Aが看守から「Bが死刑になる」と教えてもらった場合、実はAの恩赦が決まってる確率」です。
事象X： 看守がAに「Bは死刑になると教える」
事象Y1: Aが恩赦
事象Y2: Bが恩赦
事象Y3: Cが恩赦
とすると、
Ｐ(Y1) = Ｐ(Y2) = Ｐ(Y3) = 1/3
Ｐ(X|Y1): Aが恩赦の時に、看守がAに「Bが死刑」と教える確率 = 1/2 （看守には「Cが死刑」と教える選択肢もあったはずです）
Ｐ(X|Y2): Bが恩赦の時に、看守がAに「Bが死刑」と教える確率 = 0 （看守は嘘はつけません）
Ｐ(X|Y3): Cが恩赦の時に、看守がAに「Bが死刑」と教える確率 = 1 （看守に選択の余地はありません）
ですから、
「Aが看守から「Bが死刑になる」と教えてもらった場合、実はAの恩赦が決まってる確率」は 1/3 です。
つまり、
Aが恩赦になる確率は、
看守から「Bが死刑になる」と教えてもらう前（Ｐ(Y1)：事前確率）は 1/3 で、
教えてもらった後（Ｐ(Y1|X：事後確率）も 1/3 のままです。
つまり、
囚人Aが助かる確率は上がったわけでは
>>ある
君が言ってる↓のはBが死刑になる場合のみでしょ。Aが死刑の時は？Cが死刑の時は？君は起こる事象の1/６に限定して話してるのよ。今回は看守がAにBが死刑と伝えたけど、Aが死刑バージョンを作ってみな？あなた言ってる確率全然違くなるよ？書いてて矛盾に気づいたでしょ？だから途中までしか書けなかったんでしょ？。
難しく考えすぎなんだよ、重要なのはAはBでもありCでもあるってことだよ。
”Ｐ(Y1) = Ｐ(Y2) = Ｐ(Y3) = 1/3
Ｐ(X|Y1): Aが恩赦の時に、看守がAに「Bが死刑」と教える確率 = 1/2 （看守には「Cが死刑」と教える選択肢もあったはずです）
Ｐ(X|Y2): Bが恩赦の時に、看守がAに「Bが死刑」と教える確率 = 0 （看守は嘘はつけません）
Ｐ(X|Y3): Cが恩赦の時に、看守がAに「Bが死刑」と教える確率 = 1 （看守に選択の余地はありません）”
ある試行において、事象Aが起こったことがすでに分かっている、あるいはそのように仮定した条件下で事象Bが起こる確率のことを、事象Aの条件下で事象Bが起こる条件付き確率と言う。この時の確率をP(B|A)とすると、下式が成り立つ。
P(B|A)= \frac{P(A \cap B)}{P(A)}
名無しさん
たぶん論議を進めても理解しがたいものだと思います
統計学による考え方で、確率を定義するもので
パソコンの乱数計算でも結果は、びっくりするものだと思いますよ
ではさらに話を進めてみます。
さらに囚人Aは囚人間の秘密の通信手段を使って、
看守から囚人Bが処刑されることを教えてもらったこと、
及び、それで自分の助かる確率が 1/2 に上がったことを囚人Cに伝えた。
これを聞いた囚人Cもこう考えて喜んだ。
「Aが助かる確率が 1/2 なら、俺の助かる確率も（1/3 から）1/2 に上がったことになる」
この囚人Cの考えは正しいのだろうか？
囚人Cが助かる確率は、確かに上がってますが、
上で求めたように囚人Aが助かる確率は 1/3 のまま、囚人Bが助かる確率は 0 ですから、
それは 1/2 に、ではなく 2/3 に上がっています。
さらに話は続きます。
さらに今度は囚人Cが、「Aは処刑される」という情報が得られることを祈りながら、
囚人Aとまったく同じことを看守に頼んだ。
しかし看守は今回も「Bは処刑される」と答えた。
そこで囚人Cはこう考えた。
「Bが処刑されるのはもう知っているから、俺が手にしている情報の量に変化はない。
つまり、俺の助かる確率は 1/2 のままだ」
この囚人Cの考えは正しいのだろうか？
ここで求めるのは、
「Cが看守から「Bが死刑になる」と教えてもらった場合、実はCの恩赦が決まってる確率」
です。
事象X： 看守がCに「Bは死刑になると教える」
事象Y1: Ｘが恩赦
事象Y2: Ｙが恩赦
事象Y3: Ｚが恩赦
とすると、上で求めた事後確率を、今度は事前確率として、
Ｐ(Y1) = 1/3
Ｐ(Y2) = 0
Ｐ(Y3) = 2/3
そして、
Ｐ(X|Y1): Aが恩赦の時に、看守がCに「Bが死刑」と教える確率 = 1 （看守に選択の余地はありません）
Ｐ(X|Y2): Bが恩赦の時に、看守がCに「Bが死刑」と教える確率 = 0 （看守は嘘はつけません）
Ｐ(X|Y3): Cが恩赦の時に、看守がCに「Bが死刑」と教える確率 = 1/2 （看守には「Aが死刑」と教える選択肢もあったはずです）
ですから、「Cが看守から「Bが死刑になる」と教えてもらった場合、実はCの恩赦が決まってる確率」は 1/2 です。
つまり、囚人Cの考えとは異なり、看守から「Bは処刑される」という情報を得た為に、
実は、囚人Cの助かる確率は 2/3 から 1/2 に下がってしまった
君の言う事象Aってのは、今回起こる事象の１部に過ぎないんだよ。
それが合ってますと証明しました。で、その次はどうするの？事象Bは？事象Cは？
頑張って勉強した数式にとらわれ過ぎてるのかな？最初っから深く潜り過ぎで当然のことが見えてないんだよ。学校でもそれじゃ点貰えないでしょ？頑張ったで賞はもらえるのかな
わかるかな？君の言う事象Aの場合、3人の内Bの処刑が確定して、さらにAとCのどっちかが処刑されるということがAに知らされたの。
その生存確率はBの処刑が確定する前が、ABC共に1/3。後がA1/3,B×、C2/3。
でしょ？で、事象B、Cで、三人の内AまたはCが処刑される場合、AまたはCが処刑が確定する前がABC共に1/3。後がA1/3,B×、C2/3。てなるわけないじゃん。Bが生きてるんだからさ。わかったかな？君は事象Aだけについて確率
（生存確率はBの処刑が確定する前が、ABC共に1/3。後がA1/3,B×、C2/3。）
を出してそれがAだけでなく全ての事象で起こりますと言ってるんだよ？わかる？
>>ある
君がこう言ってた↓けど、もし仮に君が使ってる統計学が本物でそれを使いこなしていていたとしよう。つまり君がここに書いたものそのものが統計学だとする。
だとしたら統計学の枠から出るべきじゃないよ。ネットに書き込むときは統計学専用のものか、枠から出て書き込むときは書き込みと一緒にこれは統計学で出したものなので矛盾しますけど勘弁してくださいとでも最初に１言付け加えるべきだよ。
今回は遅いし、本人（君）以外分かり辛いでしょ。そういう意味で言ったんでしょ？統計学知らないから何言ってんのか分かんなかったよ。
”たぶん論議を進めても理解しがたいものだと思います
統計学による考え方で、確率を定義するもので
パソコンの乱数計算でも結果は、びっくりするものだと思いますよ”
名無しさん、ありがとうございます
では、Aの主張は誤り
理由：Bが処刑される事が分かったところで、Aが処刑される確率は変わらない。ただ、Bが処刑されると分かったことで、組み合わせの選択肢が一つ減っただけ。組み合わせ：①AはBと処刑される。②AはCと処刑される。③Aは助かる。Bが処刑されると聞かされたことろで、②の選択肢は消えたが、3人のうち誰かが助かる確率（3人のうちの1人が助かる【１/３】）は変わらない。と考えれば？
今でいう中学のレベルの学校もろくに通ってなく学がない私にいろいろ教えていただいて、大きな戦争があったものですから。夜明け前の太陽の説明は難しいです
しかし、Aの主張は誤りそうとしか考えられないです
＞＞ある
統計学を使うときは、天気予報でも資料でもなんでも必ず「統計では」とか言って最初に一言断りを入れるでしょ？。それは何故かというと今から嘘をつくから。
「今から嘘をつきますよでもたぶん当たると思います。」て言ってるの。
それを言わないと訴えられて裁判で負けるから。たぶん当たるを、当たります絶対ですと言ってはいけません。
君はたぶんイメージが足りてないんだよ。とりあえず算数やってみればいいんじゃない？基礎だからさ。基礎がないのに応用やってもその式の計算ができるだけでしょ。
ともかくも名無しさんはAの主張は正しいという事ですね
ここに投稿されている「名無しさん」が同一人物なら
最後までよく問題を読んで、他人のことをともかくも言わずに主催者の解答を待ちませんか？
これはAの主張は間違いだと思う。モンティーホール問題ぽく言ってるけど本質が違う希ガス。
>>にんじん
モンティホールと同じだからAの主張は間違ってるんでしょ？君の言ってることの前後は意味分かんないけど、確かにこれはモンティーホールと同じじゃないよ。
何が違うってモンティホールでは２択を自分で選べるけど、この問題でABCを選ぶのは国王なんだから。
>>ある
確かCの確率が２倍になるんでしたね。
おめでとうございます。
マリリンは、Aの主張は間違ってると
理由は数学的な事じゃなくて道徳的な事
名無しさんの主張もおなじ
答えもちゃんと載せとけよ！
名無しさん
そういうことです。お気づきでしょうか?
結果は初めから決まっている。
確率なんて関係ない。
これでどうですか？
Aの主張は間違い
もし看守が「ABC」の中からランダムに１人処刑される人を教えたなら助かる確率はAもCも1/2に上がるけど
今回看守は「BC」の中からランダムに１人処刑される人を教えたので、Aはそれに関係なく、助かる確率はAは1/3のまま、Cは2/3に上がる
a.b.cの囚人がいて、aから見て、もともとbとcのうちどちらが殺されるかは100パーセント分かっていることだから、確率に影響しないのではないのか、、ただbが死ぬことが分かっただけで、別にcが死んだとしてもaには同じことだから、、、んーむずい
死ぬ奴は決まってるから
100%か0%だろ
Aの主張は間違い。
1/3のまま。
11/16に回答された名無しさんの答えが正鵠を射てますね
自分自身を含めているか否かがカギです
Aは自分で「私以外の2名のうち少なくともどちらか1名は処刑されるはずだが…」と言っているように
BCどちらかが確実に死ぬと理解しているから…
看守にどちらが死刑になるか聞こうが、聞かなかろうが意味がない…
つまり「私以外の2名のうち少なくともどちらか1名は処刑されるはずだが…」以降の文章は話が論理的に何も進んで無いことになるから
Aの死ぬ確率は変わらない。
ただしAから見るとCは一先ず死刑をま逃れたことになるから確率が変動する。
ということかな？
生き残れる確率は全員1/3だがAがBは処刑される事を知った時点でCが生き残れる確率が2／3に上がった。でもAが生き残れる可能性は変わらない。Aが自分を含めた選択肢で訪ね、自分が選ばれなければ自分の生き残れる可能性は1／2になっていた。
直感的に考えて当たり前やけどな BorCの中から情報が得られる訳だからAの確率は不変、ただし、Cは自分についての情報を得た訳だから確率は上がっている これは何故かというと、Cは情報開示された時点で「死刑の可能性」という確率の試練を乗り越えた訳だから、死刑の可能性が低くなるのはもはや自明ってこと
この直感的な考え方こそが事前分布と事後分布の違いってやつやろ？I.Q低い低学歴には一生理解できんかも知れんけどな
間違ってるんじゃね？
Aの生存確率は33%なのは変わらんし、、
変わるとしたらCの生存確率は66%に変わるだけなのに…
いろんな場面で応用、また、拡張できますね。多様な時間軸に。2倍確率がアップ。
３囚人問題では「Ａが恩赦の場合、看守が ＢかＣ？ の選択をどの様な確率配分で選ぶか」は示されていません。したがって「囚人Bが処刑される」と答えたとき、Aが恩赦かCが恩赦かは不明で、生存確率を求めることはできません。仮に「囚人Bが処刑される」とき、AとＣの恩赦の確率が1:2の割合とすれば、囚人Aの生存確率は1/3となり、両確率に差がない（1:1）と考えると、囚人AもCも恩赦の確率は1/2になります。
絵かわいー
初見で、看守が正直に処刑される人を言ったとしたら、Aは処刑されるのにな、思ってた(´・ω・｀)
看守は知ってるはずだから、BC両方なら迷うよな？言えませんって。どうせコイツも処刑されるしって(笑)
そして、Aは単純計算で半分になったと喜んだのかと…
色々考えてる人凄いです( ・∇・)
モンティホール問題と考え方は同じです。
各囚人房の前にすでに決定書が裏返しに置かれていると想定しましょう。
A、B、Cとも、恩赦状の確率は３３%。
したがってBまたはCが恩赦状の確率は６７％。
そこで看守がBの決定書を覗き見たら死刑通知だった訳ですから、Cが恩赦状の可能性は６７％。
Aの恩赦はやはり３３％で変わっていません。
喜んでいるAは浅知恵の勘違い野郎です。
恩赦は人的決定なのでしょうが、もしシャッフルされた決定書が３人の前に置かれているだけなら、アホな看守に貢ぎ物でもして「Cのと交換して下さい」とお願いしてみるのも手かもしれません。
なんかコメントが大ゲンカになっているので以下のwikipediaをご覧ください
【3囚人問題】
https://ja.wikipedia.org/wiki/3%E5%9B%9A%E4%BA%BA%E5%95%8F%E9%A1%8C
分かりませんでした
AがBは死ぬと知る前 Aの死ぬ確率66% 生きる確率33% 知った後 Aの死ぬ確率 50% 生きる確率50%になると考えました。この考えなら死ぬ確率は下がり生きる確率は上がりました。