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【理解できる人はIQが高い】数学者も困惑した3人の囚人問題とは?

【理解できる人はIQが高い】数学者も困惑した3人の囚人問題とは?

昔々、ある国にA,B,Cという3人の囚人がいて、それぞれ別の牢に入れられています。
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明日、3人全員が処刑される予定なのですが、国王の恩赦により、3人のうち1人は助かることになりました。
しかし誰が助かるかは明かされていません。
yonnkoma2

それを知りたい囚人たちは看守に「助かるのは誰だ」と質問しますが、誰も答えてはくれません。
そこで囚人Aは質問の仕方を変え、こう問いました。
「私以外の2名のうち少なくともどちらか1名は処刑されるはずだが、その者が誰かを教えてほしい。私のことではないのだから教えてくれてもいいだろう?どうせ私は彼らと接触することはないのだから。」
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すると看守は
「Bは処刑されるよ」
と教えました。
するとそれを聞いたAは
「ありがとう。これで私が助かる確率は上がったよ」
と喜びました。
yonnkoma4

 

さてここで問題です。
本当にAが言うように、この一連の会話のやりとりでAの助かる確率は上がったのでしょうか。

 

この問題は1990年、ギネスブックにも載っている「世界一IQが高い人」マリリン・ボス・サバント氏がある雑誌でこの問題の答えを示し、アメリカで大議論を呼んだ問題です(ただし問題をわかりやすくするために内容を少し変更しています)

数学者の間でも答えに関して意見が分かれましたが、最終的にはマリリン・ボス・サバント氏の回答が正しいことがわかっています。

ではマリリン・ボス・サバント氏が出した回答は
Aの主張が正しい
としたのか
Aの主張は間違い
としたのか
どちらでしょうか。

コメント30

  1. なしほ

    聞かなければ33%で生き残れたのに、
    聞くことで生きる確率が半分になり16%になるのでAの主張は間違っていると思います。

  2. 名無しさん

    >>なしほ
    Aの主張は当たってるよ。
    3人の内2人死ぬんだからAが生き残る確率は1/3でしょ。
    でも、看守がBは死ぬと教えてくれたことによって、その時点でAは
    生き残る確率が1/2に上がったんだよ。

    君の言っていることのおかしいところは2つ合って、1つ目は、”生きる確率が半分になり16%になる”のところだけど、君はただ33%を半分の16%にしてるだけ。
    Bが死ぬんだから残りはAとCで1だけ死ぬから1/2の確率でしょ。

    2つ目は、”33%で生き残れたのに、聞くことで生きる確率が半分になり16%になるので”
    という君の主張が正しいのなら、Aの主張は間違っているんだから”思います”は付けてはいけないよ。算数、数学に”思います”なんて言葉はないから。

  3. ある

    Aの主張は間違ってる
    助かる確率が上がってはいない
    Cの助かる確率が上がった

    100人の囚人として考えると
    100人のうち99人が処刑されるとする
    生きる確率は1%
    ところがほかの99人の98人が処刑されると考えると
    ほかの囚人の99人の一人の処刑されない確率は1/100だったが98/100にあがった

    3人に置き換えると
    最初はA=1/3 B=1/3 C=1/3
    でも答えを聞いたことによって
    A=1/3 B=2/3 C=NG
    ということである

  4. 名無しさん

    >>ある
    3人の内の2人が処刑されるんだから3人とも33%の確率で助かるよね。
    で、その内の1人であるBが処刑されることが決まったんだから
    残りのAとC両方とも生き残る確率は変わるはずでしょ。

    君の主張では、Aは最初の33%から助かる確率が変わってないがCは変わってるよね。
    なんでCの確率は変わるのに、Aの確率は変わらないの?
    AもCも条件は一緒だよ?Cだけ確率が変わるのが絶対にありえない。

  5. 名無しさん

    >>ある
    100人中2人生き残ってそのうちの1人の生存確率1/100が98/100に上がったらさ、
    もう一人も生存確率1/100が98/100に上がるわけじゃん。
    2人合わせて生存確率196/100だよ?

    君の間違いは、100人の内の1人をAと置いて、その他99人の生き残った1人をBと置いて固定しちゃってる所ね。AもBも同じで、AでもありBでもあるんだから。

  6. 名無しさん

    AでもありBでもあるってことはAとAの2人、BとBの2りでもあるってことだから、AとBで確率が変わったら2人の生存確率の合計が101/100にも99/100にもなっちゃうでしょ。
    でもそれじゃダメなんだよね、きっちり合計が100/100じゃないと。最初にそう決めたでしょ?3人の内2人を処刑するって。2人の内1人が処刑されるって。

  7. ある

    「Aが看守から「Bが死刑になる」と教えてもらった場合、実はAの恩赦が決まってる確率」です。

     事象X: 看守がAに「Bは死刑になると教える」
     事象Y1: Aが恩赦
     事象Y2: Bが恩赦
     事象Y3: Cが恩赦

    とすると、

     P(Y1) = P(Y2) = P(Y3) = 1/3
     P(X|Y1): Aが恩赦の時に、看守がAに「Bが死刑」と教える確率 = 1/2 (看守には「Cが死刑」と教える選択肢もあったはずです)
     P(X|Y2): Bが恩赦の時に、看守がAに「Bが死刑」と教える確率 = 0 (看守は嘘はつけません)
     P(X|Y3): Cが恩赦の時に、看守がAに「Bが死刑」と教える確率 = 1 (看守に選択の余地はありません)

    ですから、
    「Aが看守から「Bが死刑になる」と教えてもらった場合、実はAの恩赦が決まってる確率」は 1/3 です。
    つまり、
    Aが恩赦になる確率は、
    看守から「Bが死刑になる」と教えてもらう前(P(Y1):事前確率)は 1/3 で、
    教えてもらった後(P(Y1|X:事後確率)も 1/3 のままです。
    つまり、
    囚人Aが助かる確率は上がったわけでは

  8. 名無しさん

    >>ある
    君が言ってる↓のはBが死刑になる場合のみでしょ。Aが死刑の時は?Cが死刑の時は?君は起こる事象の1/6に限定して話してるのよ。今回は看守がAにBが死刑と伝えたけど、Aが死刑バージョンを作ってみな?あなた言ってる確率全然違くなるよ?書いてて矛盾に気づいたでしょ?だから途中までしか書けなかったんでしょ?。
    難しく考えすぎなんだよ、重要なのはAはBでもありCでもあるってことだよ。

    ”P(Y1) = P(Y2) = P(Y3) = 1/3
     P(X|Y1): Aが恩赦の時に、看守がAに「Bが死刑」と教える確率 = 1/2 (看守には「Cが死刑」と教える選択肢もあったはずです)
     P(X|Y2): Bが恩赦の時に、看守がAに「Bが死刑」と教える確率 = 0 (看守は嘘はつけません)
     P(X|Y3): Cが恩赦の時に、看守がAに「Bが死刑」と教える確率 = 1 (看守に選択の余地はありません)”

  9. ある

    ある試行において、事象Aが起こったことがすでに分かっている、あるいはそのように仮定した条件下で事象Bが起こる確率のことを、事象Aの条件下で事象Bが起こる条件付き確率と言う。この時の確率をP(B|A)とすると、下式が成り立つ。

    P(B|A)= \frac{P(A \cap B)}{P(A)}

  10. ある

    名無しさん
    たぶん論議を進めても理解しがたいものだと思います
    統計学による考え方で、確率を定義するもので
    パソコンの乱数計算でも結果は、びっくりするものだと思いますよ

  11. ある

    ではさらに話を進めてみます。
    さらに囚人Aは囚人間の秘密の通信手段を使って、
    看守から囚人Bが処刑されることを教えてもらったこと、
    及び、それで自分の助かる確率が 1/2 に上がったことを囚人Cに伝えた。
    これを聞いた囚人Cもこう考えて喜んだ。
    「Aが助かる確率が 1/2 なら、俺の助かる確率も(1/3 から)1/2 に上がったことになる」
    この囚人Cの考えは正しいのだろうか?

    囚人Cが助かる確率は、確かに上がってますが、
    上で求めたように囚人Aが助かる確率は 1/3 のまま、囚人Bが助かる確率は 0 ですから、
    それは 1/2 に、ではなく 2/3 に上がっています。

    さらに話は続きます。
    さらに今度は囚人Cが、「Aは処刑される」という情報が得られることを祈りながら、
    囚人Aとまったく同じことを看守に頼んだ。
    しかし看守は今回も「Bは処刑される」と答えた。
    そこで囚人Cはこう考えた。
    「Bが処刑されるのはもう知っているから、俺が手にしている情報の量に変化はない。
     つまり、俺の助かる確率は 1/2 のままだ」
    この囚人Cの考えは正しいのだろうか?

  12. ある

    ここで求めるのは、
    「Cが看守から「Bが死刑になる」と教えてもらった場合、実はCの恩赦が決まってる確率」
    です。
     事象X: 看守がCに「Bは死刑になると教える」
     事象Y1: Xが恩赦
     事象Y2: Yが恩赦
     事象Y3: Zが恩赦
    とすると、上で求めた事後確率を、今度は事前確率として、
     P(Y1) = 1/3
     P(Y2) = 0
     P(Y3) = 2/3
    そして、
     P(X|Y1): Aが恩赦の時に、看守がCに「Bが死刑」と教える確率 = 1 (看守に選択の余地はありません)
     P(X|Y2): Bが恩赦の時に、看守がCに「Bが死刑」と教える確率 = 0 (看守は嘘はつけません)
     P(X|Y3): Cが恩赦の時に、看守がCに「Bが死刑」と教える確率 = 1/2 (看守には「Aが死刑」と教える選択肢もあったはずです)
    ですから、「Cが看守から「Bが死刑になる」と教えてもらった場合、実はCの恩赦が決まってる確率」は 1/2 です。
    つまり、囚人Cの考えとは異なり、看守から「Bは処刑される」という情報を得た為に、
    実は、囚人Cの助かる確率は 2/3 から 1/2 に下がってしまった

  13. 名無しさん

    君の言う事象Aってのは、今回起こる事象の1部に過ぎないんだよ。
    それが合ってますと証明しました。で、その次はどうするの?事象Bは?事象Cは?

    頑張って勉強した数式にとらわれ過ぎてるのかな?最初っから深く潜り過ぎで当然のことが見えてないんだよ。学校でもそれじゃ点貰えないでしょ?頑張ったで賞はもらえるのかな

  14. 名無しさん

    わかるかな?君の言う事象Aの場合、3人の内Bの処刑が確定して、さらにAとCのどっちかが処刑されるということがAに知らされたの。
    その生存確率はBの処刑が確定する前が、ABC共に1/3。後がA1/3,B×、C2/3。

    でしょ?で、事象B、Cで、三人の内AまたはCが処刑される場合、AまたはCが処刑が確定する前がABC共に1/3。後がA1/3,B×、C2/3。てなるわけないじゃん。Bが生きてるんだからさ。わかったかな?君は事象Aだけについて確率
    (生存確率はBの処刑が確定する前が、ABC共に1/3。後がA1/3,B×、C2/3。)
    を出してそれがAだけでなく全ての事象で起こりますと言ってるんだよ?わかる?
                     

  15. 名無しさん

    >>ある
    君がこう言ってた↓けど、もし仮に君が使ってる統計学が本物でそれを使いこなしていていたとしよう。つまり君がここに書いたものそのものが統計学だとする。

    だとしたら統計学の枠から出るべきじゃないよ。ネットに書き込むときは統計学専用のものか、枠から出て書き込むときは書き込みと一緒にこれは統計学で出したものなので矛盾しますけど勘弁してくださいとでも最初に1言付け加えるべきだよ。
    今回は遅いし、本人(君)以外分かり辛いでしょ。そういう意味で言ったんでしょ?統計学知らないから何言ってんのか分かんなかったよ。

    ”たぶん論議を進めても理解しがたいものだと思います
    統計学による考え方で、確率を定義するもので
    パソコンの乱数計算でも結果は、びっくりするものだと思いますよ”

  16. ある

    名無しさん、ありがとうございます
    では、Aの主張は誤り
    理由:Bが処刑される事が分かったところで、Aが処刑される確率は変わらない。ただ、Bが処刑されると分かったことで、組み合わせの選択肢が一つ減っただけ。組み合わせ:①AはBと処刑される。②AはCと処刑される。③Aは助かる。Bが処刑されると聞かされたことろで、②の選択肢は消えたが、3人のうち誰かが助かる確率(3人のうちの1人が助かる【1/3】)は変わらない。と考えれば?

  17. ある

    今でいう中学のレベルの学校もろくに通ってなく学がない私にいろいろ教えていただいて、大きな戦争があったものですから。夜明け前の太陽の説明は難しいです
    しかし、Aの主張は誤りそうとしか考えられないです

  18. 名無しさん

    >>ある
    統計学を使うときは、天気予報でも資料でもなんでも必ず「統計では」とか言って最初に一言断りを入れるでしょ?。それは何故かというと今から嘘をつくから。
    「今から嘘をつきますよでもたぶん当たると思います。」て言ってるの。
    それを言わないと訴えられて裁判で負けるから。たぶん当たるを、当たります絶対ですと言ってはいけません。

    君はたぶんイメージが足りてないんだよ。とりあえず算数やってみればいいんじゃない?基礎だからさ。基礎がないのに応用やってもその式の計算ができるだけでしょ。

  19. ある

    ともかくも名無しさんはAの主張は正しいという事ですね

  20. ある

    ここに投稿されている「名無しさん」が同一人物なら
    最後までよく問題を読んで、他人のことをともかくも言わずに主催者の解答を待ちませんか?

  21. にんじん

    これはAの主張は間違いだと思う。モンティーホール問題ぽく言ってるけど本質が違う希ガス。

  22. 名無しさん

    >>にんじん
    モンティホールと同じだからAの主張は間違ってるんでしょ?君の言ってることの前後は意味分かんないけど、確かにこれはモンティーホールと同じじゃないよ。

    何が違うってモンティホールでは2択を自分で選べるけど、この問題でABCを選ぶのは国王なんだから。

  23. 名無しさん

    >>ある
    確かCの確率が2倍になるんでしたね。
    おめでとうございます。

  24. Maryn

    マリリンは、Aの主張は間違ってると
    理由は数学的な事じゃなくて道徳的な事
    名無しさんの主張もおなじ

  25. 名無しさん

    答えもちゃんと載せとけよ!

    1. Maryn

      名無しさん
      そういうことです。お気づきでしょうか?

  26. 名無しさん

    結果は初めから決まっている。
    確率なんて関係ない。
    これでどうですか?

  27. 名無しさん

    Aの主張は間違い
    もし看守が「ABC」の中からランダムに1人処刑される人を教えたなら助かる確率はAもCも1/2に上がるけど
    今回看守は「BC」の中からランダムに1人処刑される人を教えたので、Aはそれに関係なく、助かる確率はAは1/3のまま、Cは2/3に上がる

  28. んーーーー

    a.b.cの囚人がいて、aから見て、もともとbとcのうちどちらが殺されるかは100パーセント分かっていることだから、確率に影響しないのではないのか、、ただbが死ぬことが分かっただけで、別にcが死んだとしてもaには同じことだから、、、んーむずい

  29. 名無

    死ぬ奴は決まってるから
    100%か0%だろ

(名前を入力しないとこの名前で投稿されます。)

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